钟巧澄，王 莉，王 军
（华东交通大学理学院，江西 南昌 330013）
考虑下列分数阶Schro¨dinger-Poisson 方程组非平凡解的存在性和多重性。
式中：s，t∈（0，1）且2t+4s＞3；
Ω⊂R3中一个有界域；
势函数V：Ω→R+是连续的；
λ 是一个正的常数；
f，g，h 是连续函数；
（-Δ）s是分数阶Laplacian 算子，其定义为
在f满足一定的条件下，通过山路定理和集中紧原理，作者们得到了非平凡解的存在性。推荐读者参考文献[15]和文献[16]以获得更多关于分数阶Schro¨dinger-Poisson 方程的最新结果。
基于上述工作的启发，研究式（1）解的存在性和多重性。据我们分析，非线性项在无穷远和原点附近的增长条件不同，存在性和多重性的结果是完全不同的。与Zhi 等[13]相比，本文利用较弱的条件得到了相似的结论。
在本节中，将概述式（1）的变分结构并给出其非局部项ϕu的性质。
分数阶Sobolev 空间Hs（R3）可用下列Fourier变换描述
然后，从Ho¨lder 不等式和式（2）中得到，存在C1，C2＞0 使得
本文用变分法对式（1）进行研究，包括山路定理，Bonanno 和Kajikiya 的临界点理论。一般地，需要验证泛函的几何结构并证明泛函满足临界点理论的紧性条件。但本文由于临界非线性项的存在，能量泛函只在某些范围内可以满足紧性条件，本文应用不同形式的变分定理来证明解的存在性。假设非线性项f，g，h∈C（Ω，R）且满足下列假设：
接下来，证明泛函I 满足山路几何条件。
引理2.1 若（f1），（f2），（f3），（g1）成立，那么泛函I满足山路几何结构
1）存在α，ρ＞0 使得I（u）≥α 且||u||=ρ；
2）存在e∈E 且||e||＞ρ 使得I（e）＜0。
从而，我们得到在E 上，un强收敛到u。
定理1.1 的证明 根据引理2.1，引理2.2 和山路定理[19]，得到问题（1）有一个山路解。
考虑式（1）是临界增长的情况，即
由（g2）可知，式（16）的泛函是偶泛函，可以通过对称山路定理得到无穷多解的存在性。因为临界项的存在，所以首先证明全局紧性结论。
引理3.1 设（f2）成立，则对任意M＞0，存在λ*使得对于∀λ∈（0，λ*），泛函I 在（-∞，M］满足PS条件。
证明 设{un}是泛函I 在d 水平上的PS 序列，即存在d＞0 使得当n→∞时有
现在介绍Krasnoselski 亏格。设E 是一个Banach 空间。A 为E 的一个闭子集，如果x∈A，有-x∈A，则称A 是对称的。用Σ表示E 的所有对称闭集族。A 的亏格是指使得φ∈C（A，Rn{0}）是奇映射的最小正整数。如果n 不存在，则γ（A）=∞。通常，γ（φ）=0。
命题3.1 设A，B∈Σ，则
1）如果存在一个从A 到B 的连续奇映射，则γ（A）≤γ（B）。
2）如果存在一个从A 到B 的同胚奇映射，则γ（A）=γ（B）。
3）如果γ（B）＜∞，则γ（AB）≥γ（A）-γ（B）。
4）利用Borsuk-Ulam 定理，n 维球面Sn有一个n+1 的亏格。
5）如果A 是紧的，则γ（A）＜∞且存在δ＞0 和一个A 的闭的对称邻域Nδ（A）={x∈E：||x-A||≤δ}，使得γ（Nδ（A））=γ（A）。
接下来给出Kajikiya[20]的对称山路定理。
引理3.2 设E 是一个无限维的Banach 空间且泛函I∈C1（E，R）满足下列条件：
（A1）I（u）是偶的、下有界的，I（0）=0 且I（u）满足局部PS 条件，即对于某些d*＞0，如果E 中的任意序列{un}满足I（un）→d＜d*且在E*上有I"（un）→0，则{un}有一个收敛子列。
那么下列的1）或者2）成立。
1）存在一个序列{un}使得I"（un）=0，I（un）=0，且{un}收敛到0。
容易验证χ（t）∈[0，1]且χ（t）∈C∞。设β（u）=χ（||u||），考虑截断泛函J：E→R，
利用上述论断，有以下结论。
引理3.3 设J（u）的定义为式（29），则
证明 容易验证1）和2）。由于2）和引理3.1知3）。
引理3.4 假设（f˜1）成立，则对任意的k∈N，存在δ（k）＞0 使得γ（｛u∈X∶J（u）≤δ（k）｝｛0｝）≥k。
由于G（ε）→∞（ε→0），当给定的ε 足够小时，有-δ（k）＜0。因此
{u∈Ek:||u||E=ε}⊂{u∈E:J（u）≤-δ（k）}{0}
定理1.2 的证明 考虑
Σk:={A∈X{0}:A 是闭的且A=-A，γ（A）≥k}且定义
利用引理3.3 可得-∞＜ck＜0。因此，满足引理3.2的条件（A1）和（A2），继而，存在一个解序列收敛到0。从而，定理1.2 由引理3.3 得到。
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