李志
摘 要：数概念课的教学是抽象、枯燥的。学生在学习数概念时，往往需要经历认知结构的转变，才能建构起概念的直观模型。因此，教师在教学中要准确把握学生的认知起点，让抽象的数学概念教学在有趣的情境、丰富的活动、多维的思考中落地生根。本文以“倍的认识”教学为例，谈谈提高数概念课教学有效性的策略。
关键词：认知起点；
数概念课；
有效性；
案例分析
案例背景：
“倍的认识”是人教版数学三年级上册第五单元第一课时的内容，是“数与代数”领域中的一节典型概念课。比较两个数量大小，一种是比较它们的差（相差问题），另一种是比较它们的比率关系（倍比问题），比率这一概念在数学学习中有重要的作用，是学生进一步学习比例、一次函数的基础。而倍的认识又是进一步认识分数、百分数、比这些比率关系的基础。
在学习“倍”之前，学生头脑中建立的是“加法结构”，是数量的合并与多少的比较，而对两个量之间的比率关系问题的理解，则需要在头脑中建构起“乘法结构”，“倍的认识”正是建构乘法结构的开始。心理学研究表明：“乘法认知结构的发展，乃是对乘除法问题中的两组对应的四个数值构成的关系（对应、倍数关系）的认知过程”，可见，理解两个量的倍数关系（比率）也是学生乘法认知结构建立的重要方面。
乘法结构是在加法结构基础上产生的高层次的数学认知结构。从加法结构到乘法结构，学生的认知需要发生一定程度“质”的变化。“倍”的学习是发生质的变化的第一次机会（乘法的认识还是“合并”与“累加”的过程，本质还是“加法结构”）。学生学习倍需要经历认知结构的转变，而认知结构的转变是学习中最大的困难。因此，建构倍的直观模型，认识倍这个抽象的概念学生存在困难就很容易理解了。
平利县教研师训中心吕蒙老师执教的“倍的认识”一课，就为广大教师提供了很好的范式。其课堂最大的亮点在于教师能够根据学生的年龄特点，准确把握学生的认知起点，做到了三个注重：一是注重用直观、趣味化的呈现方式引导学生学习概念；
二是注重用多样化的体验方式引导学生感知内化概念；
三是注重用灵活的变式学习活动拓展学生的思维宽度。抽象的数学概念教学在有趣的情境、丰富的活动、多维的思考中落地生根。
一、课前精彩互动，让数学学习情感有温度
【片段】
师：同学们，你们喜欢看电视吗？喜欢看什么电视节目呀？
生：动画片、科幻片……
师：温馨小提示，同学们看电视可要控制好时间，注意保护好我们的视力！你们想知道老师喜欢看什么电视节目吗？
生（急切）：想！
师：老师可喜欢看魔术表演了。今天，老师也给大家带来了一个小魔术，你们想看吗？不过呀，今天我带来的小魔术需要和同学们合作才能完成，你们愿意跟老师合作吗？
生（激动）：愿意！
师：（师出示道具）现在由你们来施魔法，一起做手势说魔法咒语“魔法变变变”看看会发生什么奇迹呢？
…………
魔术表演，很吸引学生的眼球，伴随着“魔法变变变”的声音，开始魔术表演。
片段分析：
魔术表演既为探索新知做了铺垫，又让课堂有序有度，有思维含量。学生的学习积极性高了，学习热情就高了。这样的课堂，学生喜欢，课堂氛围也非常好。
二、灵活处理教材，让数学学习参与有兴趣
【片段】
师：刚才我们一起玩了一个小魔术，好玩吗？
生（兴奋拍手）：好玩好玩！
师：在今天的数学课堂上，我们也来感受一下魔法的神奇、魔术的魅力吧！
课件出示：
师：看，这里有3个水果魔盒（苹果、梨、桔子），只要你在任意一个水果魔盒里面放入相应的一个水果，它就能变出不止一个这样的水果，想不想来见证一下？
生（迫不及待）：想！
师：我们首先来看看苹果魔盒吧！当在魔盒里放入一个苹果后，大家就一起说魔法咒语“魔法变变变”，看看会有什么神奇的变化呢？
…………
（伴随着“魔法变变变”的有节奏的声音，学生在神奇的魔术变化中发现苹果魔盒变出了2个苹果，梨魔盒变出了6个梨，教师板贴其个数，为新知学习提供了素材。）
师：我发现咱们班的同学都有一双数学的眼睛，作为数学老师，必须为你们点赞！数学的课堂，不仅需要我们具有数学的眼光，还要能从数学的角度思考问题才行，那现在请同学们比一比这两种水果的数量，说说有什么发现？
生1：梨比苹果多4个。
生2：梨的个数是苹果的3倍。
师：是的，在比较两个事物的数量时，除了谁比谁多、谁比谁少这种相差关系，还有一种关系就是刚才这位同学（生2）说的倍的关系。今天这节课，我们就一起来研究：倍的认识。（生书空板书课题。）
片段分析：
教师评价语言丰富、多样，对学生的评价有扬有抑，并且丝丝入扣，直抵内心。教师在自然和谐的氛围中与学生一起写课题“倍的认识”，小手随教师板书书空，有示范性和重点强调的作用。在有趣的情境中，从学生已有认知出发，让学生感受到了学习数学的乐趣，激發他们主动参与的意识和愿望。
三、注重操作体验，让数学学习知识有建构
【片段】
师：刚才这位同学说是3倍的关系，你能说说是怎样想的吗？
生：苹果有2个，我看梨有3份苹果那么多，所以数量就是苹果的3倍。
师：有什么好办法能让别人从图中一眼看出梨的个数是苹果的3倍吗？
（生将梨2个2个圈起来。）
师：她刚才是怎样圈的？（2个2个圈）你有什么疑问？
生：我想问你，你为什么要两个两个圈呀？
师：这位同学是今天课堂上第一个主动提出问题的，会提问的学生一定是会思考、会学习的学生，希望大家能向她学习。
生：苹果有2个，2个2个地圈能让我们清楚看出梨有这样的3份，就是苹果个数的3倍。
师引导梳理：哦！苹果有2个，梨圈出了（3个2），也就是圈出了这样的3份，我们就说梨的个数是苹果的（3倍）。（板书：梨的个数是苹果的3倍。）
师：圈的过程中有什么要注意？
生：不能随便圈。
生：要把苹果的数量看作一份，2个2个地圈。
片段分析：
核心环节教学活动的组织，一定要让学生在自主参与中经历概念的形成过程。教师在引导学生感知两种水果倍数关系的基础上，启发思考：为什么这样做？这样做要注意什么问题？很好地将操作和思维有机结合，不仅更好地建构“倍”的直观模型，也促进了学生思维的发展。
【片段】
师：刚才我们用的什么方法一眼看出来梨的个数是苹果的3倍？
生：圈一圈。
师：我们一起再来回顾一下刚才的过程吧！
…………
师：谁能完整地再说一说？
片段分析：
课堂中，教师反复让学生完整的表达和清晰的思考，从这一过程中，学生不仅能初步感知倍的概念，还能体会到语言表达的重要性。语言是思维的外壳，只有想得清，才能说得明。注重语言表达的条理性，就能有效地培养学生思维的逻辑性。而且在说的过程中，还明确了标准量和比较量的关系，让倍的概念真正内化于学生心中。
四、落实四基四能，让数学学习思维有发展
【片段】
师：我们再来看看桔子魔盒有什么神奇的魔力吧！（课件演示：魔盒中放入一个桔子，变出12个桔子。）
生（惊讶）：哇！变出了这么多的桔子呀！
师：当然魔盒的魔力变大了，思考的难度也就变大了。仔细观察，桔子和苹果的数量，想一想，它的个数和苹果又有着怎样的倍数关系呢？
生：桔子的个数是苹果的6倍。
师：咦，同样都是和苹果比较，为什么这次比出的倍数关系不一样呢？
生：因为苹果有2个，梨圈出了3个2，梨的个数是苹果的3倍；
而桔子圈出了6个2，桔子的个数就是苹果的6倍，所以它们的倍数关系不一样。
片段分析：
在学生通过“圈一圈”的活动初步感知倍的概念后，让学生在观察、对比中引发进一步思考：为什么梨、桔子都和苹果比，倍数关系不一样？（标准相同，倍数变化）教学中，教师抓住学生的学习基础，以标准量为切入点，引发学生思考，不仅使学生对倍的认识更加深刻，而且也把学生的思维逐步引向了深入。将思考与操作有机结合，层层递进，让学生的操作更有效，让学生的数学思考更有序。
五、感悟数学思想，让数学学习活动有意义
【片段】
师：同样都是在跟苹果比，梨有3个2，梨是苹果的3倍，桔子有6个2，桔子的个数就是它的6倍。如果桔子魔盒的魔力更大，变出这样的10個2呢？
生：它的个数就是苹果的10倍。
师：如果变出这样的50个2呢？
生：它的个数就是苹果的50倍。
师：如果变出100个2呢？
生：它的个数就是苹果的100倍。
师：如果再继续这样变的话，谁能用一句话概括一下？
生：桔子的个数变出了这样的几个2，它的个数就是苹果的几倍。
师：说得太好了！在比较的时候，虽然它们的倍数关系不一样，但是它们有没有什么相同的地方？
生：都是2个2个一圈。
师：为什么都是2个2个的圈呢？
生：因为都在和苹果比较，苹果有2个。
师：苹果有2个，我们就把苹果的这两个作为一份。我们圈出了这样的几份，个数就是它的几倍。
师：再来看看这些水果的数量，你还有什么新的发现吗？
生：我发现桔子的个数是梨的2倍。
师：你是怎么看出来的呢？
生：把6个梨的数量看成一份，桔子能圈出这样的2份，所以桔子的个数就是梨的2倍。
师（故作疑惑）：咦，刚才不都是2个2个的圈，这次怎么要6个作为一份圈呢？
…………
引导小结：一份的量变了，它们之间的倍数关系也就变了。看来，我们在比较的时候，确定一份的量很重要。
片段分析：
抽象、推理、模型是基本的数学思想。数概念课是培养学生抽象思想的一种非常好的载体。本节课从苹果和梨、苹果和桔子具体的3倍、6倍的倍数关系，到谁里面有几个几，谁就是谁的几倍，以及在活动中进一步引发思考：为什么梨、苹果都和桔子比，倍数也变了？（标准不同，倍数就不同。）这不仅让学生更加深入理解倍的概念，也体现了从具体到一般的推理思想。在这个过程中，让学生用数学的眼光观察，用完整的数学语言表达，这正是在培养学生的模型思想。
六、关注知识本质，让数学学习定位有高度
【练习一：填一填】
课件出示：
练习一中呈现了绿、黄、蓝3种点子图，分四个层次完成，先让学生们自己独立完成，然后集体汇报，谁是谁的几倍？然后教师追问，还能看到其他的倍数关系吗？学生说出了蓝色圆点个数是黄色圆点的2倍。最后教师追问，在完成的过程中你们圈了吗？为什么不圈？引出当一组一组呈现的时候不用圈，可以一眼看出来。
练习一片段分析：
这是一道基础性练习题，绿色、蓝色、黄色三种点子图，在颜色区分与一组一组的呈现方式中，学生可以很直观地看出三种量中存在的倍数关系，巩固了本节课的重点知识。教师善于挖掘素材中存在的知识点，完整找出三种量的倍数关系，这样的倍数关系显性的有两组，隐性的有一组。同时教师注重数学方法的指导，一组一组地看，一组一组地引导。
【练习二：想一想】
课件出示：
这是一道比较开放的题，呈现的素材是4朵紫花6朵黄花，分三个层次教学：首先明确两种花有关系吗？学生受新知学习的影响，认为没有关系。教师继续追问：两个量一点关系都没有吗？引出：两个量虽然没有整数倍关系，但是它们有相差的关系，不能“结识了新朋友忘了老朋友”。最后教师追问：如果要是黄花的朵数是紫色的2倍，可以怎么办？给了学生充分表达的机会：可以添上2朵黄花，也可以去掉1朵紫花，或是同时去掉2朵紫花和2朵黄花……这样就使得原本不具备整数倍关系的两个量变成有倍数关系的两个量。在改变标准量与比较量的过程中，不变的是倍的本质属性，一种量中有几个另一种量，它就是另一个量的几倍。
练习二片段分析：
这里的设计符合学生的认知规律，构建了生本、师本、文本的和谐关系，打破学生的固化思维，体现了“温故知新”“学而时习之”的理念。
【练习三：变魔术】
课件出示：
课件中呈现直观的两条丝带，分四个层次教学：首先绿色丝带的长度不变，不断变化红色丝带的长度，使红丝带的长度是绿丝带的1倍、2倍、3倍、4倍，在不断的变化中，体现了一份量不变，变化比较量，倍数关系发生了变化，突出了1份量的重要性；
接着标准量（绿丝带）增加一节，即1份量变化了，倍数关系发生了变化；
第三个层次是要使红丝带的长度是绿丝带的3倍，怎么办？（增加两节红丝带。）这个时候1份量不变，变化比较量。在这三个层级的基础上最后教师把这两根丝带不断变细，变成线段图，引导学生发现两个量之间长度的倍数关系是不变的，突出了倍的本质属性，倍就是两个量之间的一种关系。
练习三片段分析：
这样的练习设置体现了层次性，从基础练习到拓展性练习，层层递进，由概念的表象层向深层本质挖掘；
让学生从这些实物中抽取共同的、本质的特征，舍弃非本质的特征，以加深学生对抽象的“倍”的認识，从而对倍本质属性的认识逐步加深。
总之，概念课教学是抽象的，枯燥的，教师要关注学生的个体，和谐共进，创造有温度的课堂；
有效地整合教材内容，激发学生的学习兴趣；
重视学生的操作体验，引导学生经历模型的建构过程；
关注多维目标的落实，提高学生的数学素养，让概念课教学的有效实施真正地落地生根。
编辑/魏继军
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