申笑颜 孙慧哲
摘 要：医学领域的数学化发展推动教师对医学生的数学教育模式进行创新性实践与开拓性思考。文章基于复杂性科学中的非线性思维，在医学高等数学的教育实践中构建了一种全新的教材使用模式和教学过程模式，重构了各部分教学内容中传统的讲授顺序，赋予教学活动中教师与学生主体角色新含义。实践结果表明，针对医学生的数学教育模式的构建不仅能够促进医学生的课堂思考，提高他们的数学素养，有利于新时代对医学生的未来发展要求，还能够提高教师的教学能力，丰富教师的教学经验，弘扬教师的奉献精神，落实立德树人根本任务。
关键词：非线性思维；
医学生；
数学教育模式
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-7164（2023）04-0079-05
随着科学技术的数学化发展，现代医学也加快了迈向数学化的步伐。数学思维的品质与医学领域的研究水平密切相關，良好的数学教育有助于培养医学生的数学素质。尽管国内医学院校之间的数学教育情况各不相同，但是都会在第一学期开设医学高等数学课程，并且大部分以微积分为主要教学内容，以帮助医学生在后续课程的学习和未来职业发展中打下良好的数学基础。目前，传统数学教学对许多学生来讲，无论是教学方法还是教室场合，都难以使他们集中注意力思考数学问题，一定意义上弱化了数学教育的实际效果。对医学生的数学教育陷入了困境，数学教师应该想方法突破，而实际上，关于医学生数学教育思维方式的转换更应该引起我们的重视［1-2］。
线性思维是一种单向一维、直线机械的思维方式，而非线性思维是一种多向多维、曲线灵活的思维方式。对绝大多数的非数学类学生而言，他们学习数学的目的是为了应用数学知识（包括数学思想与方法）去理解和解决本领域内的实际问题，医学生也不例外。虽然医学生的未来工作主要是利用精湛的医学技能救治病人，但是数学知识能助力医学生提高医疗技能。数学教育本身具有实施的复杂性，而数学与医学的结合又让医学生的数学教育具备了某些特殊性，面对复杂性和特殊性兼而有之的医学生数学教育，基于复杂性科学中的非线性思维构建的医学生数学教育模式，加强医学生数学教育实践意义深远［1，3，4］。
一、基于非线性思维的医学生数学教育模式的构建
医学生对专业知识的憧憬、对职业生涯的期待，会随着大一基础课程的学习逐渐加深。大学的基础课程尤其是高等数学，对学生的学习方式和研究范式的形成与固化、对学生成才与终身发展都具有不言而喻的重要作用。医学生的数学教育始于大一上学期，基于非线性思维的医学生数学教育可协助本身具备跨领域性质的教与学，避免在教与学的过程中陷入教材固有模式的局限，以培养师生开拓更宽广的视野与格局［5］。
（一）教材使用模式的构建
我国的医学高等数学教材大多以微积分知识体系为主要框架，然而在教学中，其应用广度与理论深度相比，略显逊色。微积分内容的知识点众多，各知识点之间的联系千丝万缕［6］。医学高等数学教材的章节架构大多数是按照函数、极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分再到微分方程的顺序，而教材主体的写作方式基本上是定义、定理、证明和例题四部曲［7］。然而，教材内容本身的线性稳定性不代表教材内容线性使用的必然性，在教学过程中可以根据学生的实际情况，将具有静态属性的教材按照动态属性进行应用处理，设计灵活多样的教材使用模式，引领学生开放地使用教材。由于学生在高中学习数学时已经初步接触到微积分中的导数和定积分，能够保证基于非线性思维进行教材使用新模式构建的可行性。下文提出在教材使用中可采纳的三种动态开启模式。
1. 导数开启模式的构建
一般而言，教师会按照医学高等数学教材的章节顺序，开篇回顾函数，通过介绍数列的极限引出函数的极限，借助前述极限的概念重新认识高中的导数。事实上，尽管学生在高中已经学习导数、导数的运算及其部分应用，对这部分内容比较熟悉，但高中数学中导数概念的介绍没有过多地涉及极限的数学实质。因此，教师可以利用学生熟悉的导数的几何意义（斜率）和物理意义（速率），来开启对微积分知识的学习。在引例部分，除了斜率和速率之外，可加入医学案例，激发学生的应用意识。
在导数开启模式之后，可以有两个学习分支：一是进行导数逆运算，即不定积分的学习；
二是进行高中定积分的复习。这两个分支的特点各不相同。延续数学互逆运算的惯性，反导数，即不定积分的出现自然而然，尤其是不定积分算法的多样性和不确定性能够加深学生对非线性思维的印象。同样，在高中数学的定积分的几何意义和物理意义的介绍中，没有强调微积分中极限的定义对定积分的定义鼎力相助的作用，忽略了定积分具有和的极限的数学实质。教师可再次阐释极限定义对微积分学科的意义，以体现出极限概念的重要性。
2. 积分开启模式的构建
定积分也出现在高中数学教材中，其几何意义（面积）和物理意义（路程）是必修知识点，但定积分的极限数学实质没有作为主要内容加以研究。这为利用定积分开启数学教育的模式奠定了基础，并借此引入极限的概念。求解定积分的牛顿—莱布尼茨公式的出现是数学史上非常精彩的一笔，在此处可以加入两位数学家的故事，以调动学生的学习兴趣。从数学史的角度学习数学是一个很重要的环节，除了学习隐性的数学内涵，还可获得显性的人文外延。
显然，在学习定积分计算时，反导数的求解必不可少，可回到中学就学习过的导数概念，借助导数引申出求反导数，即求不定积分的算法。同时，导数概念中极限的再次出现，同样可以再次让学生认识到极限在微积分中的重要作用。定积分和导数引出的极限及其运算，与导数应用中洛必达法则以及相关医学题目相结合，可以很好地展示微积分在医学领域的应用价值。
3. 微分方程开启模式的构建
历史上，微分方程雏形的出现甚至比微积分的发明还要早，牛顿和莱布尼茨从不同问题提出微分和积分的互逆运算时，实际上解决了一个微分方程的求解问题［8］。在国内，高等数学教材中一般都将微分方程安排在微积分内容后。由于有高中微积分基础，学生在大学教学中，可以打破教材序贯常规，先介绍微分方程，在求解过程中涉及不定积分时，可以从简单的反导数问题入手，逐渐引入导数、极限和定积分、极限的知识点。微分方程在医药学领域的应用相当广泛，构造的数学模型可以反映医学问题中各个变量之间的关系。
因此，给大一的医学生讲授高等数学时，完全可以从与微分方程相关的医学案例入手，让他们感受数学在医药学实践中应用的力量。教材里陈述的是数学知识，但教师要通过数学教育，帮助学生透过教材看出它希望传递出什么样的数学思想。客观世界在本质上就是复杂、非线性的，任何一个学科体系自身都是庞杂的，数学亦是如此。高等数学教材介绍的内容是从众多知识点中选取的精华，教材内容安排也是线性的。教师需要在教导学生发现问题、分析问题、解决问题的过程中，灵活地使用教材，而不是墨守成规，从一而终。
（二）教学过程模式的构建
数学教育是一个传授思想的过程，在数学教学过程中，学生既是教学的客体，又是教学的主体，而对于选择医学专业的学生群体，他们对数学教育期望的独特性更应该引起重视。实际上，无论是数学还是医学，都属于问题驱动型学科，解决问题是贯穿二者的共同主线。因此，医学生数学教育效果對其后续课程学习思维的培养具有铺垫作用。医学生数学教育的不断发展要求数学教师自觉克服专业的局限，这对教师的知识结构和教学方法都提出了巨大的挑战。非线性思维能够帮助数学教师在数学教育过程中，从整体布局和全景视野的角度，看待教学过程中各活动主客体之间的不同层次和不同因素之间的联系，引领学生进行开放性思考和学习，走出惯性思维和方法的束缚。综上，下文提出三种动态教学模式。
1. 引入学生参与数学教学的模式构建
当明确教材使用模式之后，教学实践就是接下来应该考虑的问题。教学实践是数学教学理论生成的逻辑起点，而引入学生进行数学教学的模式就是一种师生角色互换的教学模式，允许学生占据数学教学活动的主体地位。对于大一新生来说，站在大学课堂尤其是大型阶梯教室的前面给同学讲课，大多数同学都是第一次。紧张又兴奋的心情会调动学生的兴趣点和探索的积极性。
事实上，这种学生教学的模式操作起来难度很大，因为医学生的数学教学多以大班型为主，学生多、学时少。要想实现引入学生进行数学教学的模式，可以利用课余时间，比如清晨或晚上进行全员试讲。首先，让全体同学分班级在教室进行第一轮试讲，使其感受到真实的讲台锻炼和真实的授课体验；
其次，教师根据学生的授课效果进行筛选，其中表现良好的学生再利用课余时间进行第二轮教室试讲，录好视频后与同学和老师一起观看，找出教学过程中的瑕疵并加以改进；
最后，师生共同从第二轮试讲中选出表现优秀的同学在课堂上进行正式讲课。当然，教师要根据实际授课时间和教学内容把握最终讲课人数，这需要教师提前对各种制约教学的因素有充分的考虑，做好精心的设计和安排，并能够随时对学生教学的突发状况进行调整。唯此才能取得良好的教学效果，否则本模式就容易演变成低效、无聊且又费时的行为艺术。
2. 激发学生参与数学思考的模式构建
非线性思维让人们保持开放的心态以应对各种可能，在明确教材动态使用的前提下，教师启发学生思考的方式也需要动态性。线上、线下授课过程中都离不开网络，雨课堂、腾序会议等教学平台的推广也使得师生手机的使用常态化，借助移动终端可以调动学生参与教学思考。首先，利用雨课堂中学生弹幕的最高频词让学生课前决定讲授哪部分内容，并作预习；
其次，让学生课前在教材中或者通过其他途径挑选对应知识点的医学案例做深入的了解，选题活动人人都要参与；
再次，在课上随机挑选学号，用以确定选择哪些医学应用案例，并让学生用弹幕发布与该题相关的知识点；
最后，通过学生讲课或者教师讲课来介绍本部分的知识点。这种讲课内容和讲课模式的动态性可以将学生引入教学过程中，赋予他们思考的内容，启发他们思考的方向，从而培养他们思考的能力。
学生参与教学的模式显性体现出学生的学习行为和学习效果，背后数学思想的培养是隐性的但是可察觉的。然而，课堂上学生是参与思考还是伪装思考，即学生与教师授课的互动究竟仅仅是对教师礼貌性地附和还是实际性的思考，都真正值得教师去认真思考。学生的投入与参与是课程取得良好效果的重要因素，与知识增长相比，知识增长的方式更重要，其增长速度又与思考方式息息相关。因此，教师在数学教育中对学生思考力的培养不仅理论意义重大，而且更需要有可行的实践操作［9］。
3. 拓宽学生参与数学应用的模式构建
哈佛大学数学物理教授阿瑟·杰佛曾说数学不管怎么抽象，在自然界中最终必能得到实际的应用。观察客观世界的现象应抓住其主要特征，建立模型，进行分析和逻辑推理，揭示事物的内在规律，这是运用数学思维解决实践应用的一种方式［10］。因此，应该为学生提供展现其应用能力的机会，而数学建模竞赛就是一个很好的平台。对医学生而言，与解答出数学习题相比，应用数学知识去解决实际问题或许是更有成就感的事情，而参加数学建模竞赛可以充分体验这种成就感。目前我国针对大学生的各个级别的数学建模竞赛较多，在大一高等数学的学习结束之后，可以组织学生参与此类竞赛。尽管医学生的数学知识无法与其他理工科学生相比，但实践证明，具有良好数学思考力的低年级医学生也可以获得良好的成绩。在备赛和竞赛过程中，参赛学生的学习力、创造力和执行力令人惊喜，充分体现了著名数学教育家哈尔莫斯所说的：“具备一定的数学修养比具备一定量的数学知识重要得多。”
当然，参加数学建模竞赛只是部分对自身和数学要求高的学生的选择，但教师不能因此就否定这类比赛对医学生的数学应用价值。在数学教育中，教师不仅要注重教材这一贯穿教学双方的课堂介质，而且也要倡导图书馆纸质资源和网络资源的运用。实际上，对所有教学资源的了解，也是参与数学应用的一个过程。另外，实施学生全员参与自主命题应用的实践过程在培养学生质疑意识、鼓励质疑精神方面也取得了良好的效果。传统的教育往往把数学当成一种纯粹的知识与技能来传授，如果学生修完数学课程后只能用数学来进行一些实际计算，不懂得如何运用数学的眼光去观察、思考和解决问题，那也是数学教育的一种遗憾［2，7，10-12］。
二、基于非线性思维的医学生数学教育实践的思考
（一）学生层面的思考
目前，学生学习面临的最大困惑已经不是如何获取已有的知识，而是如何从知识的海洋中去伪存真，获得有效的信息。在这样的时代背景下，学生需要运用更加灵活的思维去判断这种情况。学生是教学活动的焦点，如果他们不思考甚至不会思考，一切教学实践就都失去了意义。是否会在课后进行数学思考，通过什么方法为没有思考的学生注入思考的活力呢？相关研究表明分配检查理解问题、促进自主学习、活跃课堂、回答需要思考的问题等方法能够在较大程度上促进学生课堂上对数学问题进行深入思考［2］。
非线性思维具有开放性、动态性和整体性的特点，让学生筛选整体性的教学内容，设置动态性的教学目标，启发他们开放性的学习态度，引领他们逐步迈入数学思考的方向是非常有意义的。如果教师只教学生解答习题，学生则无法掌握真正的技能，医生为患者提供服务时，对重要临床问题如诊断、治疗、预后和其他卫生保健方面问题的认识都是终身的、自主的学习过程［13］。从发展的观点来看，学生应时刻准备回答未来的问题，甚至在课堂上从未遇见的问题。而医药类专业大学数学课程的教学基本要求应具备一定的理论价值和实践意义。只教他们已为人所知的东西是不够的，他们必须知道如何去发现尚未被发现的东西［14-15］。基于非线性思维的数学教育有利于医学生未来的职业发展。
（二）教师层面的思考
数学教育要适应社会的需求，不仅学生要适应，教师同样也要适应。教育的作用是要把自然的人培养成社会的人，使其成为社会生产力的组成部分。虽然数学教育看似一个单向的线性输入输出过程，但是显性的明言知识和隐性的意会知识的交叉使得教学过程成为一个复杂的实践系统。在传统教学中，线性思维特点鲜明，教学过程要走出传统模式，教师就要发挥主导作用，建立非线性思维意识，以更为开放的姿态为学生准备动态灵活的学习情境，以激发学生的积极性和创造力。教师既要完成规定的教学任务，又要在执行过程中取得良好的教学效果，非线性教学实践模式对教师提出了较高的全局掌控要求。教师需要充分考虑所有可能出现的情况，详细设计相关教学环节，包括促进、制约、阻碍教学的各种因素，以及对应的补救措施。
在基于非线性思维的教学过程中，对教学任务的发放，对学生讲课活动的陪伴，对学生确定的教学内容的讲解，对学生数学应用的参与，都需要数学教师花费大量的业余时间无偿地付出。知识或可言传，德行需得身教，立德树人是教育的根本任务。教书育人是一个广义的教学活动，学生能够在数学学习过程中感受到教师甘之如饴的奉献。大一新生是一个特殊的群体，他们对所选大学的最初判断来自教师群体。数学教师承载的敬业精神和职业素养可以通过教学行为传递给大一新生，对其未来学业规划和职业操守都有着积极正面的影响。实际上，医生这种行业和现实社会结合很深，常常不自觉地与社会既得利益集团挂钩，因此，在培养未来医生的教育过程中，更需要使学生成为敦品励学的新知识青年［12，16］。可见，数学教育同样可以作为思想品德教育的有效载体。
2019年7月26日，科技部、教育部、中科院、自然科学基金委联合制定了《关于加强数学科学研究工作方案》（以下简称《方案》）。《方案》中提到，数学是自然科学的基础，也是重大技术创新发展的基础。数学不仅与医学这门自然学科，而且在与其他学科的交叉融合成果中，同样一直在展示其重要的价值。不断发展的数学教育要求教育者自觉地克服专业视野的局限，跨领域的教与学的模式对教师的知识结构、理论视野及教学方法提出了巨大的挑战。基于非线性思维的医学生数学教育不仅历练着当代的医学生，也考验着当代的数学教师［3］。
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（责任编辑：罗欣）
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