陈 卓，张宏光，何 俊，晏长根
(长安大学 公路学院，陕西 西安 710061)
随着公路工程建设在我国的不断发展，隧道作为穿山越岭的主要构造物得到了长足发展[1]。新奥法作为隧道施工的主要方法，监控量测是其中不可或缺的一环[2]。隧道开挖破坏了开挖面附近的原始应力平衡状态，引起洞周各点产生位移，周围岩体的应力重新平衡。对于穿越断层破碎带或富水带等不良地质段的隧道，盲目开挖将造成塌方、涌水、涌泥等灾害，此时围岩变形预测直接影响施工安全和决策。因此，利用已监测的围岩位移值建立数学模型对隧道围岩变形发展趋势进行预测，及时了解掌握围岩的变形规律，已成为隧道工程施工中确保安全和施工质量的关键且重要的工作[3-4]。
目前，用于隧道围岩变形预测的数学模型主要有回归分析[5]、时间序列分析[6-7]、BP神经网络[8-11]、灰色预测模型等。每种变形预测模型各有优劣，回归分析适用于小波动、趋势明显的序列；
时间序列分析和神经网络模型则需要大量的原始序列样本，难以预测少信息数据。由于隧道位移监测信息只是围岩变形过程中的部分信息，属于少信息、贫信息的位移序列，采用灰色预测模型可避免相关位移序列信息不足的缺陷，灰色预测模型已被证明是一种简单、快速、有效的隧道位移时序预测方法。但是隧道围岩变形趋势和力学行为具有随机性和不确定性，导致传统灰色预测模型的相对误差较大、精度降低，因此需要对传统灰色预测模型进行分析优化。目前对于传统GM(1，1)模型的优化改进主要体现于原始序列和边界条件优化[12-14]、背景值优化[15-16]、模型参数优化[17-18]、与其它算法结合优化[19-21]。这些优化方法在一定程度上提升了模型预测精度，但其大多单一地对原始序列进行平移、指数、对数变换等预处理来改善序列的光滑性，缺乏理论依据，对模型预测精度的提升有限。
为减小围岩变形序列中奇异点和数据不稳定对模型精度的影响，减小传统灰色预测模型的预测误差，提高灰色预测模型的有效性和适用性。本文以灰色预测理论为基础，对传统GM(1，1)模型背景值的求解方法进行改进，并结合最小相对误差平方和准则，优化得到一种精度高稳定性好的隧道围岩变形预测灰色模型[NCBC-GM(1，1)]。以阿尔金山隧道围岩变形实测值作为原始序列，建立基于背景值构造误差和最小相对误差平方和准则优化的灰色预测模型，并与传统GM(1，1)模型和基于背景值构造优化的GM(1，1)预测模型[22]的预测结果进行对比分析，结果证明了本文提出的NCBC-GM(1，1)灰色预测模型的可靠性和有效性。
1.1 灰色预测原理
灰色预测系统是一种信息半揭露的系统，即系统信息不明晰、逻辑结构不明了、系统理论不确定。灰色系统以结果信息包容消化一切为核心，科学揭示系统内部各事物间更深刻的广泛联系，实现对系统运动规律、行为逻辑的有效追踪。灰色系统理论就是通过强化原始序列数据的规律性，从系统结构上、建模机制上使系统白度逐渐增加，从表象离乱的数据中，挖掘利用内在逻辑，增强序列规律的确定性，进而在不充分条件中建立广义的因果逻辑。灰色模型拓扑结构如图1所示。
图1 灰色模型拓扑结构
1.2 灰色理论GM(1，1)模型
GM(1，1)模型的白化方程为：
(1)
Y=[x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n)]T
(2)
传统GM(1，1)预测模型是基于齐次指数序列推导而来，适用于数据少、波动小的时间序列；
但隧道围岩变形原始序列具有波动性和复杂性，地质条件和施工作业等因素导致变形影响因子难以量化，并非齐次指数序列[23]，故传统GM(1，1)模型对隧道围岩变形的预测效果有一定的偏差。本文以灰色预测理论为基础，对传统GM(1，1)预测模型背景值的求解方法进行改进，并结合最小相对误差平方和准则，优化得到一种预测精度更高的隧道围岩变形预测灰色模型[NCBC-GM(1，1)]，如图2所示。
图2 NCBC-GM(1，1)模型建模流程
2.1 GM(1，1)模型背景值的优化
传统GM(1，1)灰色模型的背景值构造通常采用公式：
(3)
(4)
(t-k+1)(t-k-1)…(t-n)
(5)
k=2，3，…，n-1
(6)
以k-1、k、k+1、k+2作为插值节点，构造三次牛顿插值多项式，则x(1)(t)的三次牛顿插值多项式为
N3(t)=x(1)(k-1)+x(1)[k-1，k](t-k+1)+
x(1)[k-1，k，k+1](t-k+1)(t-k)+
x(1)[k-1，k，k+1，k+2](t-k+1)(t-k)×
(t-k-1)，k=2，3，…n
(7)
2.2 GM(1，1)模型边界优化
ce-β1t-ce-β1(t-1)=ce-β1t(1-eβ1)
(8)
采用最小二乘法，并依据相对误差平方和最小准则求解参数c：
(9)
令：
(10)
令:
(11)
3.1 工程概况
柳格国高阿尔金山隧道地处甘肃省阿克塞哈萨克族自治县西南部，地质钻探资料表明阿尔金山隧道地质结构复杂，节理裂隙较发育，对隧道围岩的整体稳定性有较大影响。隧道采用双洞分离式设计，单洞长7 527 m，隧底海拔约3 500 m，最大埋深530 m，属高寒高海拔特长石质隧道。其间隧道穿越断层破碎带和富水带，隧道掘进中极易发生坍塌、涌水、涌泥等灾害(见图3)。为保证隧道施工建设的安全和质量，在隧道建设全过程中实施了多项监测措施，主要有周边收敛、拱顶下沉、地表沉降、支护内力、围岩压力等。以隧道监控量测实测数据为原始序列对围岩变形序列进行预测。由监测数据分析得出，同一断面围岩周边收敛与拱顶下沉变形规律基本相似，本次选用典型断面ZK288+730对连续20 d的收敛数据进行拟合和预测。
图3 隧道灾害
基于灰色预测模型特征，隧道围岩收敛变形原始数据被划分为前16 d的拟合集和最后4 d的检测集。为体现NCBC-GM(1，1)灰色预测模型的优化作用，以及NCBC-GM(1，1)灰色预测模型对隧道围岩收敛变形数据的预测效果，本次选取采用相同数据样本建模的传统GM(1，1)预测模型和基于背景值构造优化的GM(1，1)预测模型的预测结果，并与NCBC-GM(1，1)灰色预测模型的预测结果对比分析。
3.2 结果分析
3.2.1模型优化结果分析
为表述方便，规定模型1：传统GM(1，1)预测模型；
模型2：基于背景值构造优化的GM(1，1)预测模型；
模型3：NCBC-GM(1，1)灰色预测模型。图4、图5分别为预测结果曲线和相对误差曲线。
从图4、图5中可以发现，在相同原始数据样本下，隧道围岩变形实测值的发展趋势与3种预测模型的围岩变形预测值变化趋势基本一致，由于下导开挖，变形趋势由缓慢增长阶段过渡到急剧增长阶段。隧道围岩变形初期预测值较变形实测值存在一定偏差，模型1和模型2的相对误差变化曲线在变形预测初期有略大波动，NCBC-GM(1，1)模型在变形预测初期的相对误差表现较好，由于模型1和模型2依据新信息优先准则，取x(1)(n)为边界条件建模，而NCBC-GM(1，1)预测模型依据相对误差平方和最小准则减小了前期误差。由于围岩变形实测值受到各种外界因素的影响，经由NCBC-GM(1，1)预测模型计算得到个别变形预测值与实测值存在一定偏差，但NCBC-GM(1，1)预测模型整体拟合度较好，NCBC-GM(1，1)模型围岩变形预测值的相对误差优于另外两种预测模型。
图4 周边收敛位移灰色预测结果曲线
图5 周边收敛位移灰色预测相对误差曲线
为直观反映各模型的预测效果，采用残差(RE)、平均相对误差(MRE)和均方根误差(RMSE)作为模型预测精度评定指标进行评价，各模型预测精度评定如表1所示。
表1 不同预测模型预测结果和预测误差比较Table1 Comparison of prediction results and prediction errors of different prediction models时间/d模型1模型2模型3残差/mm相对误差/%残差/mm相对误差/%残差/mm相对误差/%17-0.67-2.14-0.30-0.95-0.19-0.61 18-2.73-8.15-0.30-0.89-0.16-0.4719-3.30-9.17-0.32-0.89-0.14-0.40 20-3.63-9.48-0.05-0.12 0.17 0.46 RMSE/mm 2.83— 0.27— 0.17—MRE/%— 7.24— 0.71— 0.48
由表1可知，传统GM(1，1)模型预测精度低、预测值相对误差波动大，不适于实际工程的变形预测；
基于背景值构造优化的GM(1，1)模型的预测精度较传统GM(1，1)预测模型优化明显，但略逊于NCBC-GM(1，1)灰色预测模型；
NCBC-GM(1，1)预测模型与传统GM(1，1)模型和基于背景值构造优化的GM(1，1)预测模型相比，精度评定指标最优，其中均方根误差分别减小2.66、0.10 mm，平均相对误差分别减小6.76%、0.23%，证明NCBC-GM(1，1)灰色预测模型的精度和稳定性得到明显的改善，达到了模型优化的目的。
3.2.2模型预测精度分析
为避免单一隧道断面的围岩收敛数据样本过于单薄，导致拟合和预测分析结果不具代表性，NCBC-GM(1，1)灰色预测模型的有效性有待进一步验证。故结合施工进度安排，进一步采用相同拟合集和预测集时间的ZK288+730、Yk288+690、Yk288+810、Zk288+925共4个断面的围岩收敛变形数据建立预测模型。为进一步验证NCBC-GM(1，1)灰色预测模型的隧道围岩变形预测效果，使用传统GM(1，1)预测模型、基于背景值构造优化的GM(1，1)预测模型和NCBC-GM(1，1)灰色预测模型对4个断面的收敛变形进行预测，并将3种模型的预测结果与实测值进行对比分析得到表2、表3、表4、表5、图6。
从表2、表3、表4、表5可以发现，单一利用传统GM(1，1)预测模型时，预测值的相对误差较大，考虑背景值构造误差和隧道围岩变形波动性的NCBC-GM(1，1)灰色预测模型相对误差有一定幅值的减小。3种灰色预测模型在隧道围岩收敛变形的拟合和预测中，改进后的NCBC-GM(1，1)灰色预测模型的预测精度较传统GM(1，1)预测模型和基于背景值构造优化的GM(1，1)预测模型最大提高6.76%和0.23%，预测精度得到较明显地优化，预测效果更加稳定。但是随着时间推移，隧道变形预测精度有一定的下降趋势，NCBC-GM(1，1)灰色预测模型更适于围岩变形的短期趋势预测。由图6可知，NCBC-GM(1，1)灰色预测模型与基于背景值构造优化的GM(1，1)预测模型的预测结果偏离较小，两模型的预测值变化趋势与实测值相同；
NCBC-GM(1，1)灰色预测模型较传统GM(1，1)预测模型和基于背景值构造优化的GM(1，1)预测模型的预测追踪效果更优，预测数据更贴合实测值。因此与其它预测模型相比，基于背景值误差来源和最小相对误差平方和准则优化的NCBC-GM(1，1)灰色预测模型有着更好的预测效果和稳定性，在隧道变形趋势的预测和施工控制中具有广泛的应用价值。
表2 ZK288+730断面不同模型预测结果Table 2 Prediction results of different models for ZK288+730 section时间/d实际值/mm模型1模型2模型3预测值/mm相对误差/%预测值/mm相对误差/%预测值/mm相对误差/%1731.2130.54-2.1430.91-0.9531.02-0.611833.4830.75-8.1533.18-0.8933.32-0.471935.9432.64-9.1735.62-0.8935.80-0.402038.2834.65-9.4838.23-0.1238.45 0.46平均相对误差 — 7.24— 0.71— 0.48
表3 YK288+690断面不同模型预测结果Table 3 Prediction results of different models for YK288+690 section时间/d实际值/mm模型1模型2模型3预测值/mm相对误差/%预测值/mm相对误差/%预测值/mm相对误差/%1747.7146.54-2.4446.19-3.1946.13-3.311852.2952.760.9052.09-0.3952.02-0.521956.1759.806.4658.744.5758.664.432063.4567.786.8366.244.3966.144.25平均相对误差/% —2.94— 1.35—1.21
表4 YK288+810断面不同模型预测结果Table 4 Prediction results of different models for YK288+810 section时间/d实际值/mm模型1模型2模型3预测值/mm相对误差/%预测值/mm相对误差/%预测值/mm相对误差/%1756.2456.790.9856.00-0.4355.97-0.481859.7761.943.6360.891.8760.851.811964.4067.564.9166.202.7966.162.742069.8273.695.5471.973.0871.943.03平均相对误差/% —3.76— 1.83—1.78
表5 ZK288+925断面不同模型预测结果Table 5 Prediction results of different models for YK288+925 section时间/d实际值/mm模型1模型2模型3预测值/mm相对误差/%预测值/mm相对误差/%预测值/mm相对误差/%1768.2167.79-0.6266.64-2.3066.59-2.371872.6074.833.0773.190.8173.140.741976.2182.608.3980.385.4780.325.402083.2291.199.5788.286.0888.226.00平均相对误差/% —5.10—2.52—2.44
图6 不同断面不同模型预测结果
a.依据背景值构造误差来源和相对误差平方和最小准则优化的NCBC-GM(1，1)预测模型，改变了传统GM(1，1)灰色预测模型背景值构造方法和白化方程边界条件，均方根误差较传统GM(1，1)预测模型和基于背景值构造优化的GM(1，1)预测模型降低2.66 mm和0.10 mm，模型精度明显提升。
b.NCBC-GM(1，1)灰色预测模型运用于多个隧道断面围岩变形预测分析，监测断面变形预测值的平均相对误差分别为0.48%、1.21%、1.78%、2.44%，证明了NCBC-GM(1，1)预测模型具有较高的稳定性和有效性，在隧道围岩变形趋势预测和施工控制中具有较高的理论和应用价值。
c.随着时间推移，NCBC-GM(1，1)灰色预测模型的隧道变形预测精度有一定下降趋势，预测值相对误差略有增加，因此NCBC-GM(1，1)灰色预测模型适于围岩变形短期趋势预测，不适于隧道围岩变形的长期预测。
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